Partitura de Bach analizada

En 1723 Bach decide reunir una serie de obras escritas para el aprendizaje de sus hijos (Wilhelm Friedemann, sobre todo) bajo el título de Invenciones y Sinfonías. La obra recoge quince piezas a dos voces y otras quince a tres, todas ellas con estructura similar.

Marcadas con elipses rojas, están las apariciones del sujeto en su forma original —no he distinguido los transportes porque hubiese necesitado una partitura mucho mayor, que hubiese hecho impráctico leer el archivo a quienes se conecten por módem—.

Marcadas por elipses azules, las intervenciones por movimiento contrario.

Marcadas con cuadrados rojos, intervenciones de tan sólo las cuatro primeras notas del sujeto, casi siempre con valores rítmicos dobles —este proceso se llama aumentación—.

Marcadas con cuadrados azules, intervenciones de tan sólo las cuatro primeras notas por movimiento contrario, también casi siempre por aumentación.

Marcadas con cuadros verdes, intervenciones del final del sujeto enlazado varias veces consigo mismo.

Subrayadas en verde intervenciones de las últimas notas por movimiento contrario y aumentación.

Mozart, genio en la música y en las matemáticas

El Juego de Dados Musical Mozart, a parte de Músico, era un auténtico matemático en potencia, poseía una facilidad increíble para manejar conceptos abstractos matemáticos de forma inconsciente, de hecho buena parte de su obra ha sido estudiada encontrando relaciones curiosas con las matemáticas, como el número Phi (tan de moda con el Código Da Vinci), las Homotecias (transformaciones aritméticas de constante “k”) y la combinatira. Mozart, en 1777, a los 21 años, describió un juego de dados que consiste en la composición de una pequeña obra musical; un vals de 16 compases que tituló Juego de dados musical para escribir valses con la ayuda de dos dados sin ser músico ni saber nada de composición (K 294)Cada uno de los compases se escoge lanzando dos dados y anotando la suma del resultado. Tenemos 11 resultados posibles, del 2 al 12. Mozart diseñó dos tablas, una para la primera parte del vals y otra para la segunda. Cada parte consta de ocho compases. Los números romanos sobre las columnas corresponden a los ocho compases de cada parte del vals, los números del 2 al 12 en las hileras corresponden a la suma de los resultados, los números en la matriz corresponden a cada uno de los 176 compases que Mozart compuso. Las combinaciones que se pueden obtener son las siguientes:Minuetos: 1116 (casi 46 mil billones).
Tríos: 616 (casi 3 billones).
Obra conjunta (minueto + trío): 6616Realmente sorprendente, verdad? Deducimos, que tan solo con 16 compases musicales en unidades separadas, podemos crear 66 elevado a 16 “canciones” diferentes!! De aquí la famosa frase de Mozart: “Todo está compuesto, pero no escrito todavía”. Mozart poseía la capacidad de pensar en
la Música como algo divino ya escrito (dado por la matemática actualmente), pero que en su tiempo sólo el percibía, y sólo el sabía que componer tan solo era “pura combinatoria”.

Las mates con chiti

 LA IMPORTANCIA DE LA ENSEÑANZA A LOS FUTUROS MAESTROS DE LA APLICACIÓN EN EL AULA DE LAS NUEVAS TECNOLOGÍAS (en este caso a la clase de matemáticas)

Las nuevas tecnologías han cambiado profundamente el mundo de las matemáticas. No sólo han afectado el tipo de matemáticas que es importante sino también al modo en que éstas se hacen. Este hecho tiene consecuencias importantes en el currículo de matemáticas que exigen un reajuste de las matemáticas escolares.

Se hace necesario entonces una reformulación de lo que se enseña, del cómo y del para qué y, de acuerdo con varios autores, aparecerán en escena nuevas necesidades de preparación matemática que tendrán que ser atendidas desde la educación básica y media. Es decir, pueden anticiparse movimientos importantes en el campo del diseño y desarrollo curriculares, así como en la aplicación de nuevos métodos de enseñanza y uso de herramientas de aprendizaje.

La didáctica de las mates

Estilos de enseñanza (según Juan Antonio García Cruz)

 La matemática como actividad posee una característica fundamental: La Matematización. Matematizar es organizar y estructurar la información que aparece en un problema, identificar los aspectos matemáticos relevantes, descubrir regularidades, relaciones y estructuras. Treffer en su tesis (1978) distingue dos formas de matematización, la matematización horizontal y la matematización vertical.La matematización horizontal, no lleva del mundo real al mundo de los símbolos y posibilita tratar matemáticamente un conjunto de problemas.

En esta actividad son característicos los siguientes procesos :

   IDENTIFICAR las matemáticas en contextos generales   ESQUEMATIZAR

   FORMULAR y VISUALIZAR un problema de varias maneras

   DESCUBRIR relaciones y regularidades

   RECONOCER aspectos isomorfos en diferentes problemas

   TRANSFERIR un problema real a uno matemático

   TRANSFERIR un problema real a un modelo matemático conocido.

La MATEMATIZACIÓN VERTICAL, consiste en el tratamiento específicamente matemático de las situaciones, y en tal actividad son característicos los siguientes procesos:    REPRESENTAR una relación mediante una fórmula   UTILIZAR diferentes modelos

   REFINAR y AJUSTAR modelos

   COMBINAR e INTEGRAR modelos

   PROBAR regularidades

   FORMULAR un concepto matemático nuevo

   GENERALIZAR

Estos dos componentes de la matematización pueden ayudarnos a caracterizar los diferentes estilos o enfoques en la enseñanza de la matemática.

La proporción áurea y la música

   

LA SECCIÓN ÁUREA 

Si deseamos que la parte menor sea a la parte mayor como esta al todo, 
la proporción que buscamos es necesariamente la razón áurea. La proporción áurea se encuentra en la naturaleza y en las creaciones humanas. Gracias a la sección áurea se pueden conseguir motivos que sólo pueden deshelar el plano de forma no periódica, según descubrió el físico matemático Roger Penrose.

LA PROPORCIÓN  ÁUREA EN LA  MÚSICA

Si deseamos que la parte menor sea a la parte mayor como esta al todo, 
la proporción que buscamos es necesariamente la razón áurea. La proporción áurea se encuentra también en las creaciones musicales humanas.

En varias sonatas para piano de Mozart, la proporción entre el desarrollo del tema y su introducción es la más cercana posible a la razón áurea. ¿Intuición? Tampoco se sabe si fue consciente de ello, pero en su Quinta Sinfonía  Beethoven distribuye el famoso tema siguiendo la sección áurea.

 

Un breve articulo pitagórico

Para Pitágoras, “la contemplación simpática apasionada” era intelectual y desembocó en la ciencia de las matemáticas. Para los que de mala gana han aprendido en la escuela un poco de matemáticas, les parecerá algo extraño; pero los que han experimentado el placer embriagador de la súbita intelección que producen las matemáticas de vez en cuando, a los que las aman, el concepto de Pitágoras les parecerá muy natural, aunque no fuese cierto. Podría parecer como si el filósofo empírico fuese esclavo de su materia, pero que el matemático puro, como el músico, es creador libre de su mundo de belleza ordenada. (…)Él descubrió la importancia de las matemáticas en la música, y la relación que estableció entre la música y la aritmética sobrevive en los términos matemáticos media armónica y progresión armónica.

Para chiti

Holita Chiti!!!!